1. Buktikan bahwa pernyataan berikut ini adalah salah.
a) Jika n bilangan asli, maka terdapat paling sedikit satu bilangan prima
p sedemikian sehingga n < p < n + 6,
b) Jika a, b, c, d merupakan bilangan bulat positif sedemikian sehingga
a2 + b2 = c2 + d2, maka a = c atau a = d.
Sertakan alasan untuk setiap jawaban yang kamu berikan.
jawaban :
a) Bukti
Dalam bilangan asli terdapat paling sedikit satu bilangan prima p sedemikian hingga n = p.k maka p.k > p < p.k + 6
Pernyataan pada soal terbukti salah, haruslah n > p < n + 6
b) a² + b² = c² + d²
(a – b)² + 2ab = (c – d)² + 2cd
terlihat kesamaan bahwa
(a – b) = (c – d)
a = c dan b = d
atau
2ab = 2 cd
a = d dan b = c
(komutatif perkalian)
terbukti
2. Rancang suatu formula untuk setiap pola barisan yang diberikan.
a) 5, 13, 21, 29, 37, 45, . . . d) –2, 1, 6, 13, 22, 33, . . .
b) 6, 15, 30, 51, 78, 111, . . . e) –1, 8, 23, 44, 71, 104, . . .
c) 0, 6, 16, 30, 48, 70, . . .
Jelaskan alasan untuk setiap formula yang kamu peroleh.
a) 5, 13, 21, 29, 37, 45, ….
merupakan barisan aritmatika karena beda antar dua sukunya tetap (selalu bertambah 8)
a = 5
b = 13 – 5 = 8
Rumus suku ke n :
Un = a + (n – 1)b
Un = 5 + (n – 1)8
Un = 5 + 8n – 8
Un = 8n – 3
b) 6,15,30,51,78,111
9,15,21,27,33
6,6,6,6
a = 6, b = 9, c = 6
un = a+ b(n-1) + c(n-1)(n-2)/2
= 6+ 9(n-1) + 6(n-1)(n-2)/2
= 6 + 9n-9 + 3(n-1)(n-2)
= 9n-3 + 3(n²-3n+2)
= 3n²+3
c) 0, 6, 16, 30, 48, 70
+ 6 +10 + 14 + 18 + 22
+ 4 + 4 + 4
2a = 4
a = 2
3a + b = 6
3(2) + b = 6
6 + b = 6
b = 0
2 + b + c = 0
2 + 0 + c = 0
c = -2
Un = an² + bn + c
Un = 2n² + (0)n – 2
Un = 2n² – 2
Un = 2(n² – 1)
d) -2, 1, 6, 13, 22, 33, ….
merupakan barisan aritmatika bertingkat karena beda antar dua sukunya tidak tetap
-2 …. 1 …. 6 …. 13 …. 22 …. 33
… +3 .. +5 .. +7 … +9 …. +11
……. +2 .. +2 .. +2 ….. +2
Cara 1 :
angka pertama pada baris 1 => a = -2
angka pertama pada baris 2 => b = 3
angka pertama pada baris 3 => c = 2
Rumus suku ke n :
Un = a + (n – 1)b + (n – 1)(n – 2)c/2
Un = -2 + (n – 1)3 + (n² – 2n – n + 2)2/2
Un = -2 + 3n – 3 + n² – 3n + 2
Un = n² – 3
Cara 2 :
angka pertama pada baris 1 => a + b + c = -2
angka pertama pada baris 2 => 3a + b = 3
angka pertama pada baris 3 => 2a = 2
1) 2a = 2
=> a = 1
2) 3a + b = 3
=> 3(1) + b = 3
=> b = 0
3) a + b + c = -2
=> 1 + 0 + c = -2
=> c = -3
Jadi rumus suku ke n :
Un = an² + bn + c
Un = 1n² + 0n + (-3)
Un = n² – 3
e) -1,8,23,44,71,104,….
a = -1,b=9,c=6
Un=a+(n-1)b+c/2(n-1)(n-2)
Un=-1+(n-1) 9 + 6/2 (n²-3n + 2)
Un=-1+ 9n – 9 + 3n² – 9n + 6
Un=3n²-10+6
Un=3n²-4
3. Selidiki kebenaran setiap pernyataan matematis berikut ini.
a) 3² + 4² = 5²
3³ + 4³ + 5³ = 6³
b) Untuk setiap n bilangan asli, P(n) = n2 + 21n + 1 adalah bilangan
prima.
jawaban :
(a)
3²+4²=5²
3×3 + 4×4 = 5×5
9+16=25
25=25
Pernyataan ini benar.
3³+4³+5³=6³
3x3x3 + 4x4x4 + 5x5x5 = 6x6x6
27+64+125= 216
216=216
Pernyataan ini juga benar.
(b)
P(n)=n²+21n+1 adalah bilangan prima
P(1)=1²+21.1+1
=1+21+1=23 adalah bilangan prima. benar.
4. Untuk soal nomor 2, buktikan formula yang ditemukan dengan menggunakan
induksi matematika.
jawaban :
5. Diketahui n ∈ N, gunakan prinsip induksi matematika, untuk membuktikan
sifat-sifat berikut.
jawaban :
Penjelasan dengan langkah-langkah:
1. Misalkan n=1
(ab)^1 = a^1.b^1 (benar)
2. Misalkan n=k
(ab)^k = a^k.b^k (asumsi benar)
3. Misalkan n=k+1
(ab)^k+1=a^k+1.b^k+1
=(a^k.a^1)(b^k.b^1)
=(a^k.b^k)(a^1.b^1)
Disini terlihat (a^k.b^k) merupakan asumsi dari nomor dua dan (a^1.b^1) merupakan asumsi dari nomor satu yang benar.
Terbukti bahwa (ab)^n=a^n.b^n
Untuk soal nomor 6 – nomor 15, gunakan induksi matematika untuk membuktikan
setiap formula yang diberikan.
6.1/1.2.3+1/2.3.4+1/3.4.5+…+1/n(n+1)(n+2)= n(n+3)/4(n+1)(n+2)
jawaban :
tahap :
1. misalkan n=1
2. misalkan n=k
3. misalkan n=k+1
Tahap 1
n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
2 = 2.3/3
2 = 2
Tahap 1 Sudah Lolos
Tahap 2 (DIASUMSIKAN)
Bagian Kiri :
n(n+1) = k(k+1)
Bagian Kanan :
n(n+1)(n+2)/3 = k(k+1)(k+2)/3
jadi : k(k+1) = k(k+1)(k+2)/3
Tahap 3
Bagian kiri
pasti bakal jadi (k+1)(k+2)
tetapi pasti ada 2 suku pada bagian kiri
n + (n+1)
dinamakan efek domino
maka:
Bagian kiri ditulis :
n + (n+1)
k(k+1) + (k+1)(k+2)
Subtitusi k(k+1)
k(k+1)(k+2)/3 + (k+1)(k+2)
( (k²+k)(k+2) + 3(k²+3k+2) )/3
( k³ + 3k² + 2k + 3k² + 9k + 6 )/3
( k³ + 6k² + 11k + 6 )/3
Bagian Kanan
langsung aja misalkan n = k+1
n(n+1)(n+2)/3
(k+1)(k+2)(k+3)/3
(k² + 3k + 2)(k+3)/3
(k³ + 3k² + 3k² + 9k + 2k + 6 )/ 3
(k³ + 6k² + 11k + 6 )/3
Sehingga untuk Tahap 3 Bisa disimpukan :
(k³ + 6k² + 11k + 6 )/3 = (k³ + 6k² + 11k + 6 )/3
Hasilnya Sama
maka Karena Lolos Tahap 1&2&3 :
P(n) Terbukti Benar
7. xn – 1 habis dibagi oleh x – 1, x ≠ 1, n bilangan asli.
jawaban :
misalkan n = 1. maka 1^5 – 1 = 0. Karena 0 habis dibagi 5, maka pernyataan bernilai benar
asumsikan n^5 – n habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan bulat positif
akan dibuktikan untuk (n+1)
(n+1)^5 – (n+1) = (n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 10n +1) – (n+1)
= n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 10n +1 – n -1
= n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 9n
= (n^5 – n) + (5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 10n)
= (n^5 – n) + 5(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n)
telah diasumsikan di awal bahwa n^5 – n habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan bulat positif, maka, karena 5(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n) habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan positif, maka terbukti bahwa (n+1)^5 – (n+1) habis dibagi 5
Maka, terbukti bahwa n^5 – n habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan bulat positif
8. Salah satu faktor dari n3 + 3n2 + 2n adalah 3, n bilangan asli.
jawaban :
Untuk n =1 maka bentuk diatas menjadi
1^3+3.1^2+2.1 =1 + 3 + 2 = 6
Sehingga benar bahwa 3 adalah salah satu faktor dari bentuk tersebut
Untuk bilangan bulat positif k sebarang, 3 adalah salah satu faktor dari (k^3 + 3k^2 + 2k)
Kita juga tunjukkan bahwa 3 adalah faktor (k+1)^3 + 3(k+1)^2 + 2(k+1)
Maka menjadi
(k+1)^3 + 3(k+1)^2 + 2(k+1)
= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 2k + 2
= (k^3 + 3k^2 + 2k) + (3k^2 + 9k + 6)
= (k^3 + 3k^2 + 2k) + 3(k^2 + 3k + 2)
Karena 3 adalah faktor k^2+3k^2+2k dan 3(k^2+3k+2) maka 3 adalah faktor dari (k+1)^2 + 3(k+1)^2 + 2(k+1)
Jadi dengan menggunakan induksi matematika disimpulkan bahwa 3 adalah salah satu faktor dari (n+1)^2 + 3(n+1)^2 + 2(n+1) untuk semua bilangan bulat positif n
9. Salah satu faktor dari 22n – 1 + 32n – 1 adalah 5, n bilangan asli.
jawaban :
Langkah 1: Buktikan n = 1 bahwa benar (langkah dasar)
Untuk n = 1 bentuk di atas menjadi
2^2n-1 + 3^2n-1 = 5
2^2(1)-1 + 3^2(1)-1 = 5
2 + 3 = 5
Sehingga, benar bahwa 5 merupakan salah satu faktor dari 2^2n-1 + 3^2n-1 .
Langkah 2: Anggap bahwa n = k benar, gunakan anggapan tersebut untuk membuktikan bahwa n = k + 1 benar (langkah induksi)
Untuk n = k bentuk di atas menjadi
2^2k-1 + 3^2k-1 = 2^(2(k)-1) + 3^(2(k)-1)
Untuk n = k + 1 bentuk di atas menjadi
2^2k-1 + 3^2k-1 = 2^2(k+1)-1 + 3^2(k+1)-1 = 2^(2k+1) + 3^(2k+1)
2^(2(k)-1) + 3^(2(k)-1) = 2^(2k+1) + 3^(2k+1)
Maka
2^(2k+1) + 3^(2k+1) = 2^(2(k+1)-1) + 3^(2(k+1)-1) (terbukti)
10. 41n – 14n adalah kelipatan 27.
jawaban :
Kemungkinan soal yang dimaksud adalah
41ⁿ – 14ⁿ adalah kelipatan 27
(Lihat lampiran soal nomor 10)
Dengan induksi matematika, akan dibuktikan bahwa
41ⁿ – 14ⁿ adalah kelipatan 27
1) untuk n = 1
41¹ – 14¹ = 41 – 14 = 27 adalah kelipatan 27 (BENAR)
2) misal untuk n = x benar
41ˣ – 14ˣ adalah kelipatan 27
akan dibuktikan untuk n = (x + 1) juga benar
41ˣ⁺¹ – 14ˣ⁺¹
= 41ˣ . 41¹ – 14ˣ . 14¹
= 41ˣ . (27 + 14) – 14ˣ . 14
= 27 . 41ˣ + 14 . 41ˣ – 14 . 14ˣ
= 27 . 41ˣ + 14 (41ˣ – 14ˣ)
27 . 41ˣ adalah kelipatan 27 (sudah jelas)
14 (41ˣ – 14ˣ) adalah kelipatan 27 (berdasarkan n = x)
Jadi
27 . 41ˣ + 14 (41ˣ – 14ˣ) adalah kelipatan 27 juga
Terbukti
11. 4007n – 1 habis dibagi 2003, n bilangan asli.
jawaban :
Dengan induksi matematika akan dibuktikan bahwa
4007ⁿ – 1 habis dibagi 2003
1) akan dibuktikan untuk n = 1 benar
4007¹ – 1
= 4007 – 1
= 4006
= 2 . 2013
=> habis dibagi 2003
2) Misalkan untuk n = x benar
4007ˣ – 1 habis dibagi 2003
akan dibuktikan untuk n = (x + 1) juga benar
4007ˣ⁺¹ – 1
= 4007ˣ . 4007¹ – 1
= 4007ˣ . (4006 + 1) – 1
= 4006 . 4007ˣ + 4007ˣ – 1
= [2 . 2003 . 4007ˣ] + [4007ˣ – 1]
=> 2 . 2003 . 4007ˣ sudah jelas habis dibagi 2003
=> 4007ˣ – 1 habis dibagi 2003 (berdasarkan n = x)
Jadi
[2 . 2003 . 4007ˣ] + [4007ˣ – 1] habis dibagi 2003 (benar)
TERBUKTI
Catatan : x bisa kita ganti dengan k
contohnya untuk syarat kedua
n = k dan n = (k + 1)
12. 2002n+2 + 20032n + 1 habis dibagi 4005.
jawaban :
a habis dibagi b jika ada m sedemikian sehingga a=mb. notasi a habis dibagi oleh b adalah b|a
untuk
karena ada , maka benar
asumsikan untuk suatu bilangan bulat benar, maka
akan dibuktikan juga benar
perhatikan bahwa , tetapi 89 tidak habis membagi , jadi 4005 tidak habis membagi p(k+1)
berdasarkan prinsip induksi matematika, maka p(n) tidak habis dibagi oleh 4005
13. Diberikan a > 1, buktikan an > 1, n bilangan asli.
