1. Rani dan Ratu menjalankan suatu bisnis kecil, mereka bekerja sama untuk menghasilkan blus dan rok. Untuk menyelesaikan 1 blus, Rani dan Ratu harus bekerja sama selama 1 jam. Untuk menyelesaikan 1 rok, Rani harus bekerja 1 jam dan Ratu harus bekerja 0,5 jam. Setiap hari, Ratu hanya mampu menyediakan 7 jam kerja, dan Ratu hanya 5 jam. Mereka hendak membuat blus dan rok yang sama banyaknya. Mereka mendapat keuntungan Rp80.000,00 untuk setiap blus dan Rp60.000,00 untuk setiap rok (Anggap semua blus dan rok habis terjual).
a. Rancang model matematikanya.
b. Berapa banyak blus dan rok yang selesaikan mereka? Berapa keuntungan maksimal yang mereka peroleh?
jawaban :
a) kita misalkan :
x = blus
y = rok
Untuk membuat model matematikanya, kita buat tabel terlebih dahulu
…….. | blus (x) | rok (y) |
Rani | …. 1 …. | … 1 ….. | 7
Ratu | …. 1 …. | … 0,5 .. | 5
Laba | 80.000 | 60.000 | maksimum = ?
Model matematika
x + y ≤ 7
x + 0,5y ≤ 5 |×2| 2x + y ≤ 10
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi sasaran :
f(x, y) = 80.000x + 60.000y
b) Untuk mencari keuntungan maksimumnya kita harus buat grafiknya terlebih dahulu
• grafik : x + y ≤ 7 …. diarsir ke bawah
x = 0 => y = 7 … (0, 7)
y = 0 => x = 7 … (7, 0)
tarik garis yang melalui (0, 7) dan (7, 0)
• grafik : 2x + y ≤ 10 … diarsir ke bawah
x = 0 => y = 10 … (0, 10)
y = 0 => x = 5 … (5, 0)
tarik garis yang melalui (0, 10) dan (5, 0)
• titik potong kedua garis
2x + y = 10
x + y = 7
————— –
x = 3
x + y = 7
3 + y = 7
y = 4
(3, 4)
Setelah kita gambar grafik daerah himpunan penyelesaian, diperoleh titik-titik sudutnya yaitu (0, 0), (5, 0), (3, 4) dan (0, 7)
Kita substitusikan ke fungsi sasaran
f(x, y) = 80.000x + 60.000y
f(0, 0) = 80.000(0) + 60.000(0) = 0
f(5, 0) = 80.000(5) + 60.000(0) = 400.000
f(3, 4) = 80.000(3) + 60.000(4) = 480.000
f(0, 7) = 80.000(0) + 60.000(7) = 420.000
Jadi keuntungan maksimumnya adalah Rp480.000,00 yaitu dengan menyelesaikan 3 blus dan 4 rok
2. Suatu perusahaan transportasi harus mendistribusikan 1200 paket (yang besarnya sama) melalui dua truk pengangkut. Truk 1 memuat 200 paket untuk setiap pengangkutan dan truk 2 memuat 80 paket untuk setiap pengangkutan. Biaya pengangkutan untuk truk 1 dan truk 2 masingmasing Rp400.000,00 dan Rp200.000,00. Padahal biaya yang tersedia untuk mengangkut 1200 paket hanya Rp3.000.000,00. Hitunglah biaya minimal biaya pengangkutan paket tersebut.
jawaban :
Misal : x = truk I
y = truk II
Truk I memuat 200 paket dan truk II membuat 80 paket dengan mendistribusikan 1200 paket.
200x + 80y ≤ 1200 ⇔ 5x + 2y ≤ 30 …. (1)
Biaya truk I dan truk II adalah Rp 400.000 dan Rp 200.000 biaya tersedia Rp 3.000.000
400.000x + 200.000y ≤ 3.000.000 ⇔ 2x + y ≤ 15 … (2)
Banyak truk I dan truk II yang memuat paket selalu bernilai positif maka
x ≥ 0 dan y ≥ 0 … (3)
Menentukan titik potong pada sumbu x dan sumbu y
Pertidaksamaan 5x + 2y ≤ 30
x | y |
0 | 15 |
6 | 0 |
Titik potong (0, 15) dan (6, 0)
Pertidaksamaan 2x + y ≤ 15
x | y |
0 | 15 |
7,5 | 0 |
Titik potong (0, 15) dan (7,5 , 0)
Apabila koefisiennya positif dan mempunyai tanda ≤, maka daerah arsirannya ke bawah.
Menentukan titik potong kedua persamaan garis
Eliminasi pers (1) dan (2)
5x + 2y = 30 |×1| 5x + 2y = 30
2x + y = 15 |×2| 4x + 2y = 30
——————-
x = 0
Subtitusi x = 0 ke dalam pers (2)
2x + y = 15
2 (0) + y = 15
y = 15
titik potong dari kedua pertidaksamaan adalah (0, 15)
Menentukan biaya minimal
Uji titik f(x, y) = 400.000x + 200.000y
(0, 15) = 400.000 (0) + 200.000 (15) = 3.000.000
(6, 0) = 400.000 (6) + 200.000 (0) = 2.400.000 (minmal)
Jadi biaya minimal biaya pengangkutan paket tersebut adalah Rp 2.400.000
3. Perusahaan “SABAR JAYA”, suatu perusahaan jasa, memiliki 2 tipe karyawan. Karyawan tipe A digaji sebesar Rp135.000,00 per minggu dan karyawan tipe B digaji sebesar Rp270.000,00 per minggu. Pada suatu proyek memerlukan 110 karyawan, tetapi paling sedikit sebanyak 40 karyawan tipe B yang bekerja. Selain itu, untuk setiap proyek, aturan perusahaan mengharuskan banyak karyawan tipe B paling sedikit 0,5 dari banyak karyawan tipe A. Hitunglah banyak karyawan tipe A dan karyawan tipe B pada perusahaan tersebut.
jawaban :
Diketahui :
- mendistribusikan paket = 1200
- truk I memuat paket = 200
- truk II memuat paket = 80
- biaya pengangkutan truk I dan II = Rp 400.000 dan Rp 200.000.
- biaya yang tersedia untuk mengangkut 1200 paket hanya Rp 3.000.000,00
Ditanya :
biaya minimal biaya pengangkutan paket tersebut?
Penyelesaian :
Misal : x = truk I
y = truk II
Truk I memuat 200 paket dan truk II membuat 80 paket dengan mendistribusikan 1200 paket.
200x + 80y ≤ 1200 ⇔ 5x + 2y ≤ 30 …. (1)
Biaya truk I dan truk II adalah Rp 400.000 dan Rp 200.000 biaya tersedia Rp 3.000.000
400.000x + 200.000y ≤ 3.000.000 ⇔ 2x + y ≤ 15 … (2)
Banyak truk I dan truk II yang memuat paket selalu bernilai positif maka
x ≥ 0 dan y ≥ 0 … (3)
- Menentukan titik potong pada sumbu x dan sumbu y
Pertidaksamaan 5x + 2y ≤ 30
x | y |
0 | 15 |
6 | 0 |
Titik potong (0, 15) dan (6, 0)
Pertidaksamaan 2x + y ≤ 15
x | y |
0 | 15 |
7,5 | 0 |
Titik potong (0, 15) dan (7,5 , 0)
Apabila koefisiennya positif dan mempunyai tanda ≤, maka daerah arsirannya ke bawah.
- Menentukan titik potong kedua persamaan garis
Eliminasi pers (1) dan (2)
5x + 2y = 30 |×1| 5x + 2y = 30
2x + y = 15 |×2| 4x + 2y = 30
——————-
x = 0
Subtitusi x = 0 ke dalam pers (2)
2x + y = 15
2 (0) + y = 15
y = 15
titik potong dari kedua pertidaksamaan adalah (0, 15)
Uji titik f(x, y) = 400.000x + 200.000y
(0, 15) = 400.000 (0) + 200.000 (15) = 3.000.000
(6, 0) = 400.000 (6) + 200.000 (0) = 2.400.000 (minmal)
Jadi biaya minimal biaya pengangkutan paket tersebut adalah Rp 2.400.000
4. Selesaikan Masalah 2.5.
9. Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi maksimum 60 kilogram sedangkan kelas ekonomi maksimum 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi maksimum 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp 150.000,00 dan kelas ekonomi Rp100.000,00. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, tentukan jumlah tempat duduk kelas utama.
jawaban :
Misal
x = kelas utama
y = kelas ekonomi
Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi
x + y ≤ 48 ………….. (1)
x = 0 => y = 48 ==> (0, 48)
y = 0 => x = 48 ==> (48, 0)
hubungkan titik (0, 48) dan (48, 0) diperolehlah garis x + y ≤ 48 (diarsir ke bawah)
bagasi kelas utama 60 kg, bagasi kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1440 kg
60x + 20y ≤ 1440
3x + y ≤ 72 …………… (2)
x = 0 => y = 72 ==> (0, 72)
y = 0 => x = 24 ==> (24, 0)
hubungkan titik (0, 72) dan (24, 0) diperolehlah garis 3x + y ≤ 72 (diarsir ke bawah)
x ≥ 0, y ≥ 0 …………. (3)
Harga tiket kelas utama Rp150.000,00 dan kelas ekonomi Rp100.000,00
f(x, y) = 150.000x + 100.000y => fungsi sasaran
titik potong kedua garis
x + y = 48
3x + y = 72
—————- –
-2x = -24
x = 12
x + y = 48
12 + y = 48
y = 36
(12, 36)
Setelah kita gambar grafik himpunan penyelesaiannya (bisa dilihat pada lampiran)
ada 4 titik sudut yang diperoleh yaitu (0, 0), (0, 48), (12, 36) dan (24, 0)
kita substitusikan ke fungsi sasaran
f(x, y) = 150.000x + 100.000y
(0, 0) => 150.000(0) + 100.000(0) = 0
(0, 48) => 150.000(0) + 100.000(48) = 4.800.000
(12, 36) => 150.000(12) + 100.000(36) = 5.400.000
(24, 0) => 150.000(24) + 100.000(0) = 3.600.000
Jadi pendapatan maksimumnya adalah Rp5.400.000,00 diperoleh jika penumpang kelas utamanya 12 orang dan penumpang kelas ekonominya 36 orang
jumlah tempat duduk utama yang harus di sediakan adalah 12 buah
10. Cermati pertidaksamaan ax + by ≥ c. Untuk menentukan daerah penyelesaian pada bidang koordinat, selain dengan menggunakan uji titik, selidiki hubungan tanda koefisien x dan y terhadap daerah penyelesaian (bersih) pertidaksamaan.
jawaban :
Bentuk | Jika B ≥ 0 | Jika B ≤ 0 |
ax + by ≥ c | Maka Daerah penyelesaian berada dikanan /atas garis | Maka Daerah penyelesaian berada dikiri /bawah garis |
| ax + by ≤ c | Maka Daerah penyelesaian berada dikiri /bawah garis | Maka Daerah penyelesaian berada dikanan /atas garis |
11. Tentukan titik yang mengakibatkan fungsi linear f (x, y) = 2x – y – 4 bernilai optimum (maksimum atau minimum) jika daerah asal dibatasi sebagai berikut -1 ≤ x ≤ 1; -1 ≤ y ≤ 1. (Periksa nilai fungsi di beberapa titik daerah asal dan periksa bahwa nilai optimum tercapai pada suatu titik sudut daerah asal).
